Uma equipe internacional de matemáticos confirmou a prova da conjectura de Ronald Graham, um problema em aberto desde 1971 que trata do rearranjo de inteiros não nulos em aritmética modular. O resultado, concluído após uma sequência de quatro artigos, encerra uma questão de 55 anos e pode contribuir para estudos em matemática discreta, ciência da computação, criptografia e teoria de códigos.
A conjectura questionava se, dado qualquer conjunto de inteiros não nulos e um número primo p, seria sempre possível ordenar esses números de modo que todas as somas parciais — a soma dos dois primeiros termos, depois dos três primeiros e assim por diante — fossem diferentes quando calculadas módulo p.
Na aritmética modular, os números funcionam como se estivessem em um relógio que se repete após determinado valor. Quando p é igual a 7, por exemplo, 0, 7, 14 e outros múltiplos de 7 são considerados equivalentes. O desafio era demonstrar que, nesse sistema finito, sempre existiria uma ordem capaz de evitar a repetição das somas parciais.
Na versão clássica, com números dispostos na reta real, o problema é mais simples. Se todos os valores são positivos, as somas parciais crescem continuamente. Quando há números positivos e negativos, já eram conhecidas formas de construir ordenações sem repetições. A dificuldade estava em transportar essa propriedade para um ambiente modular, no qual os valores “dão a volta” e voltam a se repetir.
A solução completa foi construída por diferentes grupos de pesquisadores de universidades da Europa e dos Estados Unidos. O trabalho final, publicado em fevereiro de 2026, foi assinado por Lisa Sauermann, da Universidade de Bonn, e Huy Tuan Pham, da Universidade de Chicago. Eles resolveram o caso intermediário, que permanecia sem resposta depois dos avanços obtidos em situações de conjuntos muito grandes ou muito pequenos em relação ao primo p.
Antes disso, Alp Müyesser, da Universidade de Oxford, e Alexey Pokrovskiy, do University College London, haviam estudado o cenário em que o conjunto de números era muito grande em comparação com p, ocupando praticamente todo o “relógio” modular. Os pesquisadores demonstraram que processos aleatórios poderiam encontrar ordenações válidas nesses casos extremos.
Em conjuntos muito pequenos em relação a p, outras técnicas combinatórias mostraram que havia espaço suficiente no sistema modular para evitar colisões entre as somas. No entanto, essas abordagens não resolviam situações em que o número de elementos era intermediário, como nos casos próximos da metade de p. Foi nessa faixa que Sauermann e Pham concentraram seus esforços.
A técnica decisiva foi a anti-concentração. Em termos gerais, esse método demonstra que eventos indesejados, como duas somas parciais coincidirem, têm probabilidade muito baixa de ocorrer em configurações aleatórias controladas. O desafio era transformar essa baixa probabilidade em uma garantia matemática de que, para qualquer conjunto de inteiros não nulos, existiria pelo menos uma ordenação sem colisões.
A prova também empregou métodos probabilísticos e estratégias de correção local. Em vez de tentar construir diretamente uma sequência perfeita, os pesquisadores analisaram ordenações escolhidas de maneira aleatória e mostraram que muitas delas já evitam a maior parte dos conflitos. Em seguida, números são retirados, inseridos ou reposicionados de forma estratégica para corrigir os problemas restantes.
No caso dos conjuntos grandes, Müyesser e Pokrovskiy reservaram alguns números e embaralharam os demais. Quando uma sequência de termos resultava em zero módulo p, o que provocaria uma repetição nas somas parciais, um dos números reservados era inserido para interromper o conflito. Müyesser comparou o procedimento à busca por uma “agulha no palheiro”: embora muitas ordenações adequadas possam existir, encontrar e descrever explicitamente uma delas é uma tarefa difícil.
A anti-concentração garante que diferentes somas parciais dificilmente assumam o mesmo valor modular quando a ordem dos termos está suficientemente dispersa. A principal dificuldade técnica foi converter a afirmação intuitiva de que algo é “improvável” em uma prova rigorosa válida para todos os conjuntos possíveis de inteiros não nulos.
A conjectura tem origem na trajetória de Ronald Graham, uma figura importante da matemática discreta que também era um praticante dedicado de malabarismo. Graham presidiu grandes sociedades científicas e associações de malabarismo, aproximando os dois campos.
Fan Chung, matemática da Universidade da Califórnia em San Diego e parceira de Graham na vida e na pesquisa, recordou o interesse dele por truques com objetos, como girar bolas, cabides e lançar canetas contra a parede.
A analogia com o malabarismo ajuda a explicar o problema. Imagine que cada bola lançada ao ar leve um tempo ligeiramente diferente para retornar às mãos do artista. A conjectura afirma, em essência, que seria sempre possível escolher a ordem dos lançamentos para impedir que duas bolas caíssem exatamente no mesmo compasso. No modelo matemático, essa coincidência corresponde à repetição de uma soma parcial.
Durante décadas, a imagem orientou pesquisas, mas as técnicas disponíveis não eram suficientes para abranger todos os casos da aritmética modular. O avanço só se tornou possível com o amadurecimento dos métodos probabilísticos e das ferramentas de anti-concentração, hoje comuns em combinatória e teoria dos números.
O problema resistiu por 55 anos porque reunia três dificuldades: a aritmética modular, a exigência de que todas as somas parciais fossem distintas e a enorme variedade de conjuntos possíveis. As técnicas existentes funcionavam em determinados regimes — com conjuntos muito grandes, muito pequenos ou com simetrias específicas —, mas falhavam em outras situações.
A região intermediária era especialmente complexa. Nela, não havia espaço modular suficiente para aplicar diretamente os métodos usados em conjuntos pequenos, nem elementos em quantidade suficiente para utilizar as estratégias voltadas aos conjuntos grandes. Além disso, pequenas mudanças na ordem dos números podiam corrigir uma colisão e provocar outra em seguida.
Para Noga Alon, matemático da Universidade de Princeton que acompanhou o desenvolvimento das provas, o resultado representa uma combinação entre colaboração internacional, uma nova geração de pesquisadores e o uso de métodos probabilísticos. Segundo ele, o desfecho resume “o poder da colaboração, o poder da nova geração, o poder dos métodos probabilísticos”.
Especialistas consideram a resolução um marco para a matemática discreta e a teoria dos números. O resultado demonstra que, mesmo sob as restrições de um sistema modular finito, existe liberdade suficiente para organizar sequências cujas somas parciais não se repetem.
Essa propriedade pode interessar a áreas que trabalham com estruturas finitas e padrões complexos, como ciência da computação, criptografia e teoria de códigos. A garantia de que determinadas ordenações sem colisões sempre existem pode orientar estudos sobre esquemas de codificação, protocolos de correção de erros e algoritmos probabilísticos.
No entanto, o impacto direto em aplicações industriais ainda é limitado. A prova demonstra a existência de muitas ordenações adequadas, mas descrevê-las de maneira simples e determinística continua sendo um desafio. Sistemas práticos geralmente exigem procedimentos claros para construir uma solução, e essa diferença entre provar que algo existe e encontrar explicitamente esse objeto permanece como uma questão de pesquisa.
A demonstração também oferece novas técnicas e intuições para outras áreas da matemática, incluindo o estudo de grandes grafos, redes de comunicação e problemas combinatórios. Em longo prazo, pesquisadores podem explorar variações da conjectura e buscar caracterizações explícitas das ordenações que funcionam.
A resolução se destaca tanto pelo encerramento de uma questão aberta desde 1971 quanto pela forma como foi obtida. Equipes de Bonn, Chicago, Oxford, do University College London, de Princeton e da Universidade da Califórnia em San Diego contribuíram para diferentes partes do problema. A prova final combina colaboração internacional, métodos probabilísticos, argumentos de anti-concentração e uma conexão entre a intuição do malabarismo e possíveis aplicações tecnológicas.
Fonte: Miraí Broadcast